Piazzamento pecore: la non-risposta a un piccolo giochino pasquale

Nei giorni scorsi, attraverso, i nostri canali social, abbiamo proposto un piccolo giochino.
Lo abbiamo chiamato scherzosamente “Piazzamento pecore“.
Vedremo nel corso del testo la nostra non-risposta (e spiegheremo il perché la chiamiamo così).
Si vedrà anche che è una questione più seria di quello che sembra.

Tempo di lettura 9 minuti

Come sapete, Volpe Giocosa è molto interessata a il cross-over, le interazioni, fra vita reale e il gioco.
Ok, il “Piazzamento pecore” che proponiamo non è un gioco da tavolo (che però possa essere uno spunto?), ma è sicuramente un gioco.
E’ cioè una circostanza dove bisogna fare delle scelte e accettarne i risultati.
Questa definizione, concedeteci, è talmente vaga da poter essere una sintesi della vita stessa.
E’ tanto vero quanto si considera che il risultato dipende anche da scelte altrui.
Avevamo visto qualcosa di simile verso Natale, con il Dilemma del Prigioniero.
In quel forse troppo lungo saggio (essay) si parlava per l’appunto di un modello di gioco che ha applicazioni in molti contesti della vita reale.
Ora però dedichiamoci alla pastorizia con “Piazzamento pecore” e alle conclusioni sveliamo alcuni concetti.

Il quesito proposto

Il quesito che abbiamo proposto si può vedere come il secondo episodio della storia di Anna e Biagio.
Sono loro i disorganizzati rapinatori di Natale.
Ecco la storiella:

Decidete di darvi alla pastorizia.
La stessa scelta è stata fatta da Anna e Biagio, che sono usciti di galera dopo la rapina in banca di Natale.
Hanno quindi messo su un allevamento, fondando A&B Latticini.
Sia voi che la A&B Latticini portate le vostre pecore in un pascolo comune, che il demanio mette a disposizione gratuitamente ad entrambi.
Tenete conto che:

  1. Non vi mettete d’accordo sul numero di pecore che ciascuno porterà.
  2. Avete una tabella che indica il ricavo dato da una singola pecora in funzione del totale delle pecore presenti nel pascolo, vostre e di A&B Latticini.
    Meno pecore ci sono, più erba avranno a disposizione, più latte produrranno di qualità e, quindi, saranno più redditizie.
  3. Il costo di mantenimento di 1 pecora è sempre e comunque 1€.
    (Pertanto mantenere 5 pecore ha un costo di 5€ e via discorrendo)

Quante pecore portate al pascolo?

Si potrebbe obiettare che nel quesito non è specificato l’obiettivo da raggiungere.
Di conseguenza è formalmente mal posto. Obiezione corretta.
E’ fatto però intenzionalmente: volevamo capire quante persone hanno sottinteso che avrebbero dovuto massimizzare il loro guadagno.
Alcuni hanno pensato a logiche per far fallire la concorrenza, anche con strategie elaborate come tit for tat (pan per focaccia, ne riparleremo).
Del resto questo è quello che accade per lo più nei giochi da tavolo (vedi Monopoly).
Per decidere se una strategia di questo tipo sia realmente applicabile, avremmo dovuto specificare se si tratta di un gioco one shot, con un numero prefissato di turni o, astrando il concetto, infiniti round.
Nessun ha pensato potesse essere un gioco collaborativo.
Fissiamo un attimo le idee supponendo che vogliamo massimizzare davvero il nostro guadagno.

Fissiamo un gergo comune

Per non creare confusione tocca fissare un gergo comune.
Definiamo ricavo (revenue) quanto si incassa dalla vendita del latte delle pecore. Sono queste le entrate lorde.
Il guadagno (profit) si ottiene sottraendo i costi (costs).
Abbiamo infatti fissato a 1€ il costo di mantenimento della singola pecora.
Riassumendo se portiamo al pascolo 3 pecore, non sapremo bene quanto incasseremo come ricavi.
Il pascolo, infatti, genera ricavi in base al numero *totale* di pecore pascolanti, sia vostre che della A&B Latticini.
Di certo c’è che spenderete 3€ per mantenere le pecore.
Si potrebbe notare uno sbilanciamento tra costi e ricavi.
La pastorizia sarebbe difatti un’attività estremamente redditizia.

Una soluzione un po’ semplicistica

La soluzione del facilone
Sicuramente su due piedi si pensa che basti massimizzare il guadagno in base solo a quante pecore si portano al pascolo.
Potreste moltiplicare il numero di pecore per il ricavo e sottrarre i costi, secondo i principi base che si imparano alle elementari.

Un approccio singolare al quesito

Un approccio singolare al quesito

Con questa logica andreste al pascolo con 6 pecore e vi attendereste di guadagnare circa 1561€ (ovvero 6 x 261.3€ – 6€).
Se avete fatto questo ragionamento, significa abbiamo spiegato male il quesito.

Un approccio miope

Ritornando al quesito, scusate se insistiamo, dovete fare attenzione che il pascolo genera ricavi in base al numero totale delle pecore presenti.
Non importa chi sia il proprietario, la pecora mangia comunque l’erba.
Più pecore ci sono, meno potranno essere schizzinose e dovranno accontentarsi di erba più scadente.
Diciamo quindi che l’andamento decrescente della tabella simula l’impoverimento del pascolo
Ciò comporterà un latte di peggiore qualità che il mercato pagherà meno.
Se adottate l’approccio presentato prima, vi presentereste con 6 pecore al pascolo del demanio.
Lo stesso potrebbe fare la A&B Latticini. Morale?
Al pascolo ci saranno 12 pecore che non riusciranno a mangiare e non produrranno nemmeno una goccia di latte.
Avrete così perso 6€.
Avremo modo di vedere come invece la pastorizia sia un’attività altamente fruttuosa (almeno in questo gioco…).

Un criterio più redditizio

La soluzione precedente ci ha dimostrato come bisogna tenere conto di quello che fa la A&B Latticini.
Tornando sempre al quesito, non potete mettervi d’accordo con la concorrenza: vi vedrete al pascolo con le pecore la mattina stessa.
La A&B Latticini è un’azienda “razionale”: si comporterà con la vostra stessa logica (che potrebbe anche essere quella di non consideravi concorrenti…)
E’ opportuno tenere conto di quanto potete guadagnare facendo delle ipotesi sulla loro scelta.
In particolare, come detto, non devono essere sottovalutati: sono razionali quanto vuoi.

tabella_1

Tabella che fornisce i guadagni del giocatore come funzione del numero di pecore condotte al pascolo dal giocatore e dalla A&B Latticini

Il problema è chiaro: quante pecore porterà la A&B Latticini?

Un approccio molto matematico

Con un po’ di analisi matematica si riuscirebbe a capire qual è il punto migliore di “funzionamento” del pascolo.
Ovviamente se giochiamo per questo scopo.
Ad esempio, supponendo che il gioco, come riportato nell’introduzione, possa proporre situazioni ripetute, allora si apre un mondo.
Dopo un po’ di passaggi, che contemplano il calcolo dei derivate, troverete che la scelta che massimizza il guadagno per i giocatori è di 7.36 pecore totali al pascolo.
Ora, sapete che la matematica e la statistica non guardano in faccia a nessuno.
Non potendo dividere una pecora, fisseremo questo numero a 7.
Significa che voi ne dovreste portare 3 e la A&B Latticini 4, o viceversa.
In soldoni, è il caso di dirlo, voi guadagnereste 654€, mentre la concorrenza 872€.
Ovviamente potrebbe accadere anche il contrario.

Un’osservazione

Abbiamo quindi trovato un approccio logico per affrontare il quesito.
Tornando al punto tre del problema, ovvero al “non accordo a priori”, ricordiamo non sapete cosa sceglie la A&B Latticini.
Sceglierà di portare 3 o 4 pecore?
Se puntate al guadagno derivante da 4 pecore, e lo stesso fa la concorrenza, guadagnerete 647€ a testa.
Potreste fare anche il ragionamento opposto: 654€ è meglio che 647€.
Meglio essere cautelativi.
Mettiamo che così entrambi porterete al pascolo 3 pecore.
In quel caso guadagnereste entrambi 781€.
Questa osservazione dovrebbe farvi accendere una lampadina e condurvi al passo successivo del ragionamento.

Una spiegazione matematica

Scusateci se insistiamo sul punto.
Con il nostro approccio, condiviso già da altre persone in rete, il dubbio si riduce a condurre al pascolo 3 o 4 pecore.
Potrebbe sembrare un Dilemma del Prigioniero, ma come potete leggere nel saggio precedente, non è formalmente identico.
In effetti, la posizione opportunistica, se condotta da entrambi, è la peggiore in assoluto.
Nel Dilemma del Prigioniero, l’evento peggiore che possiamo vivere, è mantenere una condotta “corretta” e venire traditi.
Nel tabella qui sotto abbiamo riportato le 4 possibilità, a cui è stato sottratto un valore di riferimento (benchmark).
E’ stato scelto il guadagno totale del pascolo per 7 pecore pascolanti diviso 2: 763€

Il dilemma fra scegliere fra portare al pascolo 3 o 4 pecore sembra essere simile a quello del Prigioniero. In realtà non è formalamente uguale

Il dilemma fra scegliere fra portare al pascolo 3 o 4 pecore sembra essere simile a quello del Prigioniero. In realtà non è formalmente uguale

Proviamo a vedere cosa farebbe Volpe Giocosa nei panni del giocatore.
E’ abbastanza complesso perché la versione prudente, portare 3 pecore al pascolo, ci permette di portare a casa 18€ sopra il benchmark (tra l’altro 6 pecore abbiamo visto essere il gregge giusto per il pascolo).
Questo se anche la A&B Latticini è prudente, ma se fosse golosa beccheremmo una bella batosta: 109€ sotto il benchmark.
Portarne 4 è la tipica soluzione “bene bene” o “male male”.
Non siamo in grado di prendere un decisione, così vi diamo la prima non-risposta: se abbiamo il sentore che la A&B Latticini porti 3 pecore con probabilità maggiore del 7.5%, allora noi ne porteremmo 4.

Profitto privato e costi comuni

Il titolo del paragrafo è probabilmente il sogno di ogni imprenditore e sembra anche di molte persone in rete (si scherza, ovviamente).
In sostanza si fa leva su un bene comune.
Per l’uso di questo bene non ci vengono accreditati costi.
Siccome nulla è gratis al mondo, significa che pagherà un ente terzo: lo Stato, la collettività o semplicemente la Natura.
I guadagni derivanti dall’uso del bene, invece, finiscono nelle nostre tasche.

Il grafico del profilo aggregato è lo stesso che abbiamo usato nel caso di

Il grafico del profilo aggregato è lo stesso che abbiamo usato nel caso di “logica semplificata”

Per il bene comune

Confrontando il ragionamento errato e l’approccio matematico si intuisce che c’è qualcosa che non va.
Il pascolo rende al meglio, lo abbiamo visto, con 6 pecore all’interno.
Invece, ragionando ognuno per sé, ne portereste 7. Il vostro guadagno oscillerebbe cioè da 647€ a 872€.
In questo caso siamo di fronte ad un dilemma, con punti di somiglianza col Dilemma del Prigioniero, come abbiamo visto.
Non sappiamo se si potrebbe giungere a dilemmi diversi, in funzione di tabelle diverse.

Il concetto di profitto aggregato

L’obiettivo potrebbe essere quello di trarre il maggior vantaggio possibile dal pascolo.
Definiamo ora il profitto aggregato, ovvero banalmente quanto possiamo “tirare fuori” dal pascolo.
Il grafico mostrato a inizio del paragrafo mostrava un massimo per 6 pecore al pascolo.
Lo stesso risultato si può ottenere mediante una rigorosa trattazione matematica.

Una mappa che mostra i terreni demaniali nel medioevo (credit: Wikipedia)

Una mappa che mostra i terreni demaniali nel medioevo (credit: Wikipedia)

Origine del problema

Questo gioco, come molti hanno notato, è in realtà un problema di economia.
E’ una formalizzazione del problema, quello sì sulle pecore, proposto dall’economista inglese William Forster Lloyd.
In modo più formale fu proposto nel 1968 da Garrett Hardin, nel suo”Tragedy of commons“.
Non era un trattato di economia, infatti Hardin si occupava di ecologia.
Il suo lavoro, in estrema e brutale sintesi, voleva semplicemente denotare il fallimento delle persone nel cooperare per gestire qualcosa che è un bene comune (la traduzione parola per parola dall’inglese potrebbe dare un significato tradotto troppo enfatico).

Se nel ‘800 era un problema di pastorizia, cosa sono i commons oggi?

Dal punto di vista dell’ecologia potrebbe essere lo sfruttamento dei mari.
Se si pesca in maniera indiscriminata si ottimizza il profitto, di qualcuno, a breve termine, ma si impoveriscono i mari.
Semplificando e riportando la questione a un problema comune, si potrebbe pensare al parchetto sotto cosa come ad un commons.
Se invece ne vogliamo fare un tema di attualità, si può parlare di vaccini e immunità di gregge.
Il concetto andrebbe molto avanti, dove si introdurrebbe, anche nell’ottica COVID-19, il concetto di scrocconi (o free riders).
Non siamo in grado di affrontare in maniera sistematica l’argomento (probabilmente abbiamo fatto qualche pasticcio anche nella stesura di quest’articolo).
Vi esponiamo il concetto, lasciando a voi dirci se lo condividete oppure no.

Un immagine che spiega il concetto di immunità di gregge (credit: Wikipedia)

Immunità di gregge ed effetti collaterali

Diciamo che per avere sconfitto il virus bisogna ottenere l’immunità di gregge tramite vaccinazione.
Per raggiungere lo scopo, per fissare un numero, il 70% della popolazione si deve sottoporre a vaccino.
È questa un’ipotesi.
Non necessita di essere dimostrata: la si prende come è oppure no, chiudendo il discorso.
Sempre nel campo delle ipotesi, c’è quella per cui sottoporsi a vaccino ci espone ad un rischio.
Possono essere i cosiddetti effetti collaterali.
Ora è chiaro che c’è una porzione della popolazione, fino al 30%, che può giovare dei benefici dell’immunità di gregge senza “pagare” il rischio delle controindicazioni.
Se tutto agognassimo ad entrare in questo 30% (in realtà più piccolo perché alcuni non possono vaccinarsi per altri motivi), l’immunità di gregge non sarebbe mai raggiunta.
E’ il proverbiale concetto del “se tutti fanno così“, messo in matematica e gioco.

Una tabella che

Una tabella che “scala” in modo diverso con un più alto costo di mantenimento delle pecore. E ora che si fa?

In conclusione

Dopo che per Natale abbiamo parlato del Dilemma del Prigioniero, oggi proponiamo un Piazzamento Pecore.
Anche questa volta ci piace sottolineare come il gioco intersechi le nostre vite.
Il gioco quindi, trascendendo da pedine e dadi, è un concetto più esteso che abbraccia molti aspetti della nostra realtà.
Alcune tematiche sono anche importanti, coma visto anche nell’altro saggio breve.
In questo caso abbiamo semplicemente dimostrato, in modo non rigoroso, che il “ognun per sé e Dio per tutti” non permette di ottimizzare le risorse che ci sono messe a disposizione.
Se il pascolo in questione potrebbe generare 1562€, in realtà la logica concorrenziale ne consente di prendere 1526€.
Potrebbe anche andare peggio, con perdite anche del 15%.
In realtà dipende da che tabella si usa, magari più realistica della nostra, ma il concetto è invariato.
Vi lasciamo qualche riga con la trattazione matematica.

Scuse ai lettori e la non-risposta

A questo punto è d’obbligo scusarsi con i lettori.
Il quesito, volutamente mal posto, voleva essere solo uno spunto di riflessione.
Anche un passatempo per arrovellarsi 10 minuti in queste vacanze pasquali.
Con questi presupposti non esiste una soluzione netta, già complessa se tutto fosse presentato a dovere.
Vi offriamo quindi il nostro punto di vista e la nostra non-risposta.
Probabilmente c’è anche del “buonismo pasquale all’interno”, lo sappiamo.

Per chi volesse approfondire

Come per il Dilemma del Prigioniero siamo partiti da “Un mondo in conflitto” di Bruno Chiarini.
Nel libro l’argomento è trattato in modo più sistematico e approfondito (e sicuramente privo degli errori che potremmo avere commesso in questa “invasione di campo”).
Insomma, se cercate una reale risposta alle vostre domande, lì le trovate.
Noi vi abbiamo messo la pulce nell’orecchio.

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